第 9 章 二次型与二次曲面

二次型的概念及标准形 ¶

二次型 ¶

关于 \(n\) 个变量 \(x_1,x_2,\cdots,x_n\) 的二次齐次函数

称为 \(n\) 元二次型。

二次型简单说就是有 n 个变量的二次齐次函数。

系数全为实数的二次型称为实二次型。本书只讨论齐二次型，以后都将其简称为二次型。‘

只含平方项的二次型

称为标准二次型。

在标准二次型的基础上，形如

的二次型称为规范二次型。

标准二次型简单说就是二次型的混合项系数全为 0

规范二次型简单说就是二次项的混合项系数全为 0，其他项是 1，-1，0.

二次型矩阵 ¶

我们可以将二次型写成矩阵形式：

当写成这种形式时，有 \(a_{ij}=a_{ji}\) . 因此，\(A\) 为对称矩阵，称为二次型 \(f(x)\) 的矩阵 .

这样，每一个二次型都对应一个二次型矩阵。

对称矩阵 \(A\) 的秩叫做二次型的秩。

可以看到， \(A\) 一定是实对称矩阵。接下来与二次型有关的大部分概念只局限于实对称矩阵。

通过二次型求二次型矩阵的方法很简单：根据定义逐个对系数项除以二然后填入相应位置就好。

线性变换 正交变换 可逆变换 合同变换 ¶

\(A\) 是 \(m\times n\) 矩阵，\(x\) 是 \(n\) 元列向量，我们把 \(y=Ax\) 叫做从 \(n\) 元向量 \(x\) 到 \(m\) 元向量 \(y\) 的线性变换。

当 \(A\) 为可逆矩阵时， \(y=Ax\) 叫做可逆变换。

当 \(Q\) 为正交矩阵时， \(y=Ax\) 叫做正交变换。

还记得什么是正交矩阵吗？正交矩阵：满足 \(A^TA=E\) 的矩阵。或者描述为 \(A\) 的列向量为单位向量（内积为 1），且两两正交（互相垂直）。或者描述为 \(A^T=A^{-1}\) 的矩阵。正交矩阵一定是方阵，且可逆。

正交变换有特殊的性质：向量进行正交变换之后，它内积，长度，夹角都不变，即几何图形不变。

对二次型进行可逆变换

得到一个新二次型 \(g(x)=y^TBy\) ，其中 \(B=P^TAP\) .

对于 \(n\) 阶方阵 \(A\) 与 \(B\) ，若存在可逆矩阵 \(P\) ，使 \(B=P^TAP\)，则称 \(A\) 与 \(B\) 合同（也称 \(A\) 与 \(B\) 相合）；变换 \(P^TAP\) 叫做对 \(A\) 进行合同变换（也叫做相合变换）。

合同变换不改变矩阵的对称性和秩。

化为标准形 ¶

二次型可以通过正交变换 \(x=Qy\) 化为标准二次型

并且，\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\) 是 \(A\) 的特征值。

具体到题上，如何将二次型化为标准形呢？

方法一：先找到二次型矩阵 \(A\) , 然后按第八章方法求出 \(Q^{-1}AQ=diag(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n)\) 中的正交矩阵 \(Q\) .

方法二：将二次型配方成只剩平方项，再将平方项里的原变量定义为新的变量。（注意，这种变换只是普通的可逆变换）

化为规范形 ¶

二次型可以通过可逆线性变换 \(x=Py\) 化为规范二次型

并且，\(p,q\) 是正、负惯性指数。

惯性定理 ¶

惯性定理：用任何可逆变换将二次型 \(f(x)=x^TAx\) 所化成的标准形 \(g(x)=y^TBy\) 的正、负平方项的项数都对应相等 .

一个二次型标准形的 正、负平方项的项数 / 对角矩阵正、负对角元个数 / 正、负特征值个数 分别称为该二次型的正、负惯性指数。

实对称矩阵一定相合于对角形矩阵。用任何相合变换将实对称阵化为对角形矩阵的正、负对角元的个数都对应相等 。

实对称矩阵 \(A\) 相合于对角矩阵 \(\mathrm{diag}(E_p,-E_q,O).\) 称之为是对称矩阵 \(A\) 的相合标准形。

正定二次型与正定矩阵 ¶

正定矩阵，负定矩阵 ¶

若对任意的 \(0\ne x\in R^n\) ， \(n\) 元二次型都 \(f(x)>0\) ，则称二次型 \(f(x)\) 是正定二次型；正定二次型的矩阵称为正定矩阵。矩阵表示： \(x^T(A^TA)x>0\) .

若对任意的 \(0\ne x\in R^n\) ， \(n\) 元二次型都 \(f(x)<0\) ，则称二次型 \(f(x)\) 是负定二次型；负定二次型的矩阵称为负定矩阵。矩阵表示： \(x^T(A^TA)x<0\) .

命题 1 可逆变换不改变二次型正定性

\(f(x)\) 为正定二次型 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 为正定矩阵 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的特征值全为正数 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的正惯性指数为 \(n\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) 相合于 \(E\) \((P^TAP=E,\,P\text{ 可逆})\) \(\Leftrightarrow\) 存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(B\) , 使 \(A=B^TB\) .

同时，还有 若 \(A\) 为正定矩阵 \(\Rightarrow\) \(A\) 的对角元 \(a_i>0\) .

判断 \(A\) 为正定矩阵的有效方法——顺序主子式法：

矩阵 \(A\) 的左上角 \(k\) 阶子阵称为 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子阵 , 记作 \(A_k\) . \(|A_k|\) 叫做 \(A\) 的 \(k\) 阶顺序主子式 .

则有： 实对称矩阵 \(A\) 为正定矩阵 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的各阶顺序主子式都大于零 .

若 \(A,B\) 是 \(n\) 阶正定矩阵，则 \(A+B\,,\,cA\,,\,A_k\,,\,A^{-1}\) 都是正定矩阵。

若 \(A\) 是 \(n\) 阶正定矩阵，则一定存在另一个正定矩阵 \(B\) 使 \(A=B^2\) 。

\(f(x)\) 为负定二次型 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 为负定矩阵 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的特征值全为负数 \(\Leftrightarrow\) \(A\) 的负惯性指数为 \(n\) \(\Leftrightarrow\) \(A\) 相合于 \(-E\) \((P^TAP=-E,\,P\text{ 可逆})\) \(\Leftrightarrow\) 存在 \(n\) 阶可逆矩阵 \(B\) , 使 \(-A=B^TB\) \(\Leftrightarrow\) \(\mathbf{A}\) 的偶数阶顺序主子式都大于零，奇数阶顺序主子式都小于零。

\(A\) 列满秩当且仅当 \(A^TA\) 是正定阵（一个数的平方是正数）。

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