第八章 多元数量值函数积分学及其应用
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二重积分的概念与性质
二重积分的概念
概念略
定理 8.1 ( 可积的必要条件 ) 若函数 \(f(x,y)\) 在有界闭区域 \(D\) 上可积，则 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上有界。
定理 8.2 ( 可积的充分条件 ) 若 \(f(x,y)\) 是有界闭区域 \(D\) 上的连续函数，则 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上可积。
二重积分的计算
直角坐标系下二重积分的计算
\[
\begin{gather}
x\text{ 型域下}\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\displaystyle\int_a^b\mathrm{d}x\displaystyle\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)\mathrm{d}y
\\
y\text{ 型域下}\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\displaystyle\int_c^d\mathrm{d}y\displaystyle\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)\mathrm{d}x
\end{gather}
\]
极坐标系下二重积分的计算
极坐标变换：
\[
\left\{\begin{aligned}
x&=r\cos\theta
\\
y&=r\sin\theta
\\
D &\to D_{r\theta}
\end{aligned}\right.
\]
二重积分转换为：
\[
\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\displaystyle{\iint\limits_{D_{r\theta}}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta=\displaystyle\int_\alpha^\beta \mathrm{d}\theta\displaystyle\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)r\,\mathrm{d}r
\]
一般的，当积分域 \(D\) 是圆域或圆域的一部分（如版圆盘、扇形、圆环域等），且被积函数 \(f(x,y)\) 有 \(g(x^2+y^2)\) 或 \(g(\frac{y}{x})\) 的形式时，用极坐标系计算二重积分是比较合适的。
二重积分的换元法
换元（其实也是一种坐标变换）：
\[
\left\{\begin{aligned}
x&=x(u,v)
\\
y&=y(u,v)
\\
D&\to D_{uv}
\end{aligned}\right.
\]
还需满足：
\(x(u,v),y(u,v)\) 在 \(D_{uv}\) 上具有一阶连续偏导数；
在 \(D_{uv}\) 上 \(\mathrm{Jacobi}\) 行列式
\[
J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=
\begin{vmatrix}
{x}'_u & {x}'_v \\
{y}'_u & {y}'_v
\end{vmatrix}
\ne 0,\ \ (u,v) \in D_{uv},
\]
则有二重积分的换元公式
\[
\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma=\displaystyle{\iint\limits_{D_{uv}}}f\big(\,x(u,v),y(u,v)\,\big)\cdot |J|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v
\]
例如，极坐标系变换就是一种换元。 \(J=r\).
还需要记住的有广义极坐标变换：
\[
\left\{\begin{aligned}
x&=ar\cos\theta
\\
y&=br\sin\theta
\\
D&\to D_{r\theta}
\\
J&=abr
\end{aligned}\right.
\]
二重积分的几何意义
有关二重积分的几何意义，将统一放到 8.8 里讲述。
三重积分
直角坐标系下的三重积分计算
坐标面投影法
\[
xy\text{ 型域下}\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\iint\limits_{D_{xy}}\mathrm{d}x\mathrm{d}y\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f(x,y,z)\mathrm{d}z.
\]
先二后一法
适用条件：某一轴平行截取物体的上下部分。
\[
\iiint\limits_{V}f(x,y,z)\mathrm{d}V=\int_a^b \mathrm{d}z\iint\limits_{D_z}f(x,y,z)\mathrm{d}x\mathrm{d}y.
\]
三重积分的换元法
换元：
\[
\left\{\begin{aligned}
&x=x(u,v,w)
\\
&y=y(u,v,w)
\\
&z=z(u,v,w)
\\
&D\to D_{uvw}
\\
&J\not\equiv0
\\
&\text{换元后的函数一阶偏导连续}
\end{aligned}\right.
\]
则有三重积分的换元计算公式
\[
\displaystyle\iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV=\displaystyle{\iiint\limits_{D_{uvw}}}f\big(\,x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)\,\big)\cdot |J|\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}w
\]
柱面坐标系下三重积分的计算
点 \(P\) 的直角坐标与柱面坐标的关系为
\[
\left\{\begin{aligned}
&x=r\cos\theta
\\
&y=r\sin\theta
\\
&z=z
\\
&J=r
\end{aligned}\right.
\]
三重积分在柱面坐标系下的变换公式为
\[
\iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV={\iiint\limits_{D_{r\theta z}}}f\big(\,r\cos\theta,r\sin\theta,z\,\big)\cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta\,\mathrm{d}z
\]
一般而言，当被积函数具有 \(g=(x^2+y^2,z)\) 的形式，而积分域 \(V\) 是以 \(z\) 轴为旋转轴的旋转体或旋转体的一部分时，利用柱面坐标计算三重积分比较简单。
球面坐标系下三重积分的计算
点 \(P\) 的直角坐标与球面坐标的关系为
\[
\left\{\begin{aligned}
x&=\rho\sin\varphi\cos\theta
\\
y&=\rho\sin\varphi\sin\theta
\\
z&=\rho\cos\varphi
\\
J&=\rho^2\sin\varphi
\end{aligned}\right.
\]
三重积分在柱面坐标系下的变换公式为
\[
\iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV={\iiint\limits_{D_{\rho\varphi\theta}}}f\big(\,\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi\,\big)\cdot \rho^2\sin\varphi\,\mathrm{d}\rho\,\mathrm{d}\varphi\,\mathrm{d}\theta
\]
一般而言，当被积函数具有 \(g=(x^2+y^2+z^2)\) 的形式，而积分域 \(V\) 为球体或球体的一部分（如半球、球壳等）时，利用球面坐标计算三重积分比较简单。
第一型曲线积分
第一型曲线积分的计算
若空间曲线 \(L\) 的参数方程为
\[
\left\{\begin{aligned}
&x=x(t)
\\
&y=y(t)
\\
&z=z(t)
\end{aligned}\right.
\ \ (\alpha \le t \le \beta)
\]
当 \(x(t),y(t),z(t)\) 在 [\(\alpha,\beta\)] 上具有一阶连续导数，且 \(x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)\not\equiv 0\) ，函数 \(f(x,y,z)\) 在 \(L\) 上连续，则曲线积分 \(\displaystyle\int_L f(x,y,z)\mathrm{d}s\) 存在，且
\[
\displaystyle\int_L f(x,y,z)\mathrm{d}s=\displaystyle\int_\alpha^\beta f\big(\,x(t),y(t),z(t)\,\big)\sqrt{x'^2(t)+y'^2(t)+z'^2(t)}\ \mathrm{d}t
\]
第一型曲面积分
第一型曲面积分的计算
设曲面 \(S\) 的方程为
\[
z=z(x,y)\,,\ \ (x,y)\in D_{xy}
\]
则
\[
\iint\limits_{S}f(x,y,z)\mathrm{d}S=\iint\limits_{D_{xy}}f\big(\,x,y,z(x,y)\,\big)\sqrt{1+z_x^2(x,y)+z_y^2(x,y)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
\]
几何与物理应用举例
二重积分的几何意义
二重积分 \(\displaystyle\iint\limits_{D}f(x,y)d\sigma\) 的几何意义是：积分域 \(D\) 上的平面薄板，其面密度为 \(f(x,y)\) ，则二重积分为该平面薄板的质量。当 \(f(x,y)=1\) 时，二重积分数值上即为积分域 \(D\) 的面积。
另一个几何意义是：对于一个曲顶柱体，其 \(xOy\) 平面的投影是有界闭区域 \(D\) ，顶部满足方程 \(f(x,y)\) ，则二重积分为该曲顶柱体的体积。
曲面的面积（第一型曲面积分的特殊情况）
利用二重积分不仅可以计算立体的体积和平面图形的面积，也可以计算曲面的面积。
对于一个曲面 \(S\)
\[
z=z(x,y)\,,\ \ (x,y)\in D_{xy}
\]
证明过程略，直接给出求曲面面积的二重积分公式：
\[
S=\iint\limits_{D_{xy}}\sqrt{1+z^2_x(x,y)+z^2_y(x,y)}\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y
\]
对于 \(x=x(y,z),\,\,y=y(x,z)\) 的形式同理，不再列出。
事实上，这就是第一型曲面积分在被积函数为 1 时的情况。
三重积分的几何意义
三重积分 \(\displaystyle\iiint\limits_{V}f(x,y,z)dV\) 的几何意义是：积分域 \(V\) 上的块状物体，其体密度为 \(f(x,y,z)\) ，则三重积分为该物体的质量。当被积函数 \(f(x,y,z)=1\) 时，三重积分数值上即为积分域 \(V\) 的体积。
第一型曲线积分的几何意义
第一型曲线积分 \(\displaystyle\int_{L}f(x,y)ds\) 的几何意义是：光滑曲线 \(L\) 在点 \((x,y)\) 处的质量线密度为 \(f(x,y)\) ，则第一型曲线积分为该曲线的质量。当被积函数为 \(f(x,y)=1\) 时，第一型曲线积分数值上等于曲线的长度。
另一个几何意义是：对于一个柱面 \(S\) ，它的母线平行于 \(z\) 轴，准纤维 \(xOy\) 平面上的曲线段 \(L\) 。柱面的高度为 \(f(x,y)\) ，则第一型曲线积分为该柱面的面积。
第一型曲面积分的几何意义
第一型曲线积分 \(\displaystyle\iint\limits_{S}f(x,y,z)dS\) 的几何意义是：光滑曲面 \(S\) 在点 \((x,y,z)\) 处的质量面密度为 \(f(x,y,z)\) ，则第一型曲面积分为该曲面的质量。当被积函数 \(f(x,y,z)=1\) 时，第一型曲面积分数值上等于曲面的面积。
静矩
什么是静矩？对于一个质点 \((x,y,z)\) ，则称 \(M_{xy}=m \cdot z\) 为该质点对 \(xOy\) 坐标面的静矩。
那么对一个物体 \(V\) ，其体密度函数为 \(\rho(x,y,z)\) ，则整个物体对 \(xOy,yOz,xOz\) 坐标面的静矩分别为
\[
\begin{gather}
M_{xy}=\iiint\limits_{V}z\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V
\\
M_{yz}=\iiint\limits_{V}x\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V
\\
M_{xz}=\iiint\limits_{V}y\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V
\\
\end{gather}
\]
对一个平面薄板 \(S\) ，其面密度函数为 \(\rho(x,y)\) ，则整个物体对 \(x,y\) 轴的静矩分别为
\[
\begin{gather}
M_x=\iint\limits_{D}y\cdot\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma
\\
M_y=\iint\limits_{D}x\cdot\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma
\end{gather}
\]
质心
对一个物体 \(V\) ，其体密度函数为 \(\rho(x,y,z)\) ，则该物体的质心坐标计算公式为：
\[
\begin{gather}
{\overline{x}}=\frac{M_{yz}}{m}=\frac{\displaystyle\iiint\limits_{V}x\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V}{\displaystyle\iiint\limits_{V}\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V}
\\
\\
{\overline{y}}=\frac{M_{xz}}{m}=\frac{\displaystyle\iiint\limits_{V}y\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V}{\displaystyle\iiint\limits_{V}\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V}
\\
\\
{\overline{z}}=\frac{M_{xy}}{m}=\frac{\displaystyle\iiint\limits_{V}z\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V}{\displaystyle\iiint\limits_{V}\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V}
\\
\\
\end{gather}
\]
对一个平面薄板 \(S\) ，其面密度函数为 \(\rho(x,y)\) ，则该平板状物体的质心坐标计算公式为：
\[
\begin{gather}
{\overline{x}}=\frac{M_{y}}{m}=\frac{\displaystyle\iint\limits_{D}x\cdot\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits_{D}\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma}
\\
\\
{\overline{y}}=\frac{M_{x}}{m}=\frac{\displaystyle\iint\limits_{D}y\cdot\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma}{\displaystyle\iint\limits_{D}\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma}
\\\\
\end{gather}
\]
转动惯量
力学上称 \(I_l=m \cdot r^2\) 为该质点对定轴 \(l\) 的转动惯量。
对一个物体 \(V\) ，其体密度函数为 \(\rho(x,y,z)\) ，则该物体的对 \(x,y,z\) 轴的转动惯量分别为：
\[
\begin{gather}
I_x=\displaystyle\iiint\limits_{V}(y^2+z^2)\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V
\\\\
I_y=\displaystyle\iiint\limits_{V}(x^2+z^2)\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V
\\\\
I_z=\displaystyle\iiint\limits_{V}(x^2+y^2)\cdot\rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V
\\\\
\end{gather}
\]
对一个平面薄板 \(D\) ，其面密度函数为 \(\rho(x,y)\) ，则该平板状物体对 \(x,y\) 轴的转动惯量分别为：
\[
\begin{gather}
I_x=\displaystyle\iint\limits_{D}y^2\cdot\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma
\\\\
I_y=\displaystyle\iint\limits_{D}x^2\cdot\rho(x,y)\,\mathrm{d}\sigma
\end{gather}
\]
引力
万有引力公式 \(F=G\frac{m_1\cdot m_2}{r^2}\)，
一个物体 \(V\) 对质点 \((x_0,y_0,z_0)\) 的引力 \(F=(F_x,F_y,F_z)\) ，设物体上某一点为 \((x,y,z)\) ，两点之间的距离为 \(r=\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2}\)，则有公式：
\[
\begin{gather}
F_x=\iiint\limits_{V} F_x=\iiint\limits_{V} G\frac{m_0\,\rho(x,y,z)\,(x-x_0)}{r^3}\, \mathrm{d}V
\\
F_y=\iiint\limits_{V} F_y=\iiint\limits_{V} G\frac{m_0\,\rho(x,y,z)\,(y-y_0)}{r^3}\, \mathrm{d}V
\\
F_z=\iiint\limits_{V} F_z=\iiint\limits_{V} G\frac{m_0\,\rho(x,y,z)\,(z-z_0)}{r^3}\, \mathrm{d}V
\\
\end{gather}
\]
